INTRODUCCCIÓN

En nuestro dia a dia, lidiamos con miles de diminutos o grandes problemas los cuales en gran parte son resueltos por las matemáticas.

Esta rama de la ciencia es de vital importancia que sea estudiada y comprendida si se desea tener una mayor comprensión sobre lo que nos rodea; en nuestro curso de matemáticas aplicadas daremos inicio a un Proyecto el cual nos permitirá analizar tanto de manera didáctica como teórica la importancia y relevancia de la comprensión de este arte tan abstracto e incomprendido como las matemáticas.

Una clepsidra es un artefacto bastante sencillo, pero con una gran y curiosa ciencia detrás de el, un recipiente que posee un pequeño orificio por el cual fluye el agua al momento de ser llenado con esta, dándonos una velocidad y tiempo de vaciado. Esto, al ser tabulado y posteriormente graficado nos da como resultado una parábola.

Con un conocimiento intermedio sobre las matemáticas Podemos razonar que esta parábola dibujada sobre nuestro plano cartesiano forma parte de una ecuación cuadrática, y estas ecuaciones se resuelven mediante la famosa formula genera.

Nuestro Proyecto abarcara todos los procedimientos necesarios para conocer los valores necesarios de nuestras ecuaciones y asi conseguir X, y usando esto poder calcular de la manera más exacta el cuanto tiempo transcurrirá para que baje una cierta cantidad nuestro recipiente.

¿QUÉ ES UN CLEPSIDRA?

I. DESCRIPCIÓN

Proyecto de trabajo que combina el Aprendizaje Basado en Proyectos (AbP), el Trabajo Cooperativo y las TIC, en el aprendizaje de las Matemáticas, con el objetivo de recrear un entorno real de trabajo (científico-ingenieril) centrado en el análisis de un fenómeno físico real: la modelación matemática del vaciado de un depósito lleno de agua al que se le ha practicado un orificio.

II. OBJETIVO GENERAL

Impulsar el desarrollo de competencias matemáticas en alumnos de nivel medio superior y el pensamiento matemático que permitan en abordaje de contenidos de Álgebra, Geometría Analítica, Cálculo Diferencial y Estadística en la modelación de un fenómeno físico.

III. OBJETIVOS PARTICULARES

• Modelar matemáticamente un fenómeno físico real: Vaciado de un depósito lleno de agua al que se la ha practicado un orificio en la pared lateral, realizando una aproximación o ajuste de los  datos obtenidos.

• Acercar a los estudiantes a los procesos propios del método científio.

• Evidenciar las competencias genéricas del perfil del egresado, mediante el aprendizaje colaborativo, el uso efectivo de las TIC así como la destreza en la expresión oral y escrita.

Antes de proceder con el desarrollo de la fase experimental de nuestro Proyecto, debemos conocer con exactitud que es, como funciona y un poco de la historia de los Clepsidra.

Se le reconoce como clepsidra del griego kléptein (robar) y hydōr (agua), o reloj de agua a cualquier mecanismo para medir el tiempo mediante el flujo regulado de un líquido hacia o desde un recipiente graduado, dando así dos tipos diferentes de relojes según la dirección del flujo.

Las clepsidras datan de la antigüedad egipcia (mrḫyt) y se usaban especialmente durante la noche, cuando los relojes de sol perdían su utilidad. Los primeros relojes de agua consistían en una vasija de cerámica que contenía agua hasta cierto nivel, con un orificio en la base de un tamaño adecuado para asegurar la salida del líquido a una velocidad determinada y, por lo tanto, en un tiempo prefijado. El recipiente disponía en su interior de varias marcas, de tal manera que el nivel de agua indicaba los diferentes períodos, tanto diurnos como nocturnos.

Los relojes de agua también se usaron por los atenienses para señalar el tiempo asignado a los oradores. Más tarde fueron introducidos con el mismo fin en los tribunales de Roma y además se usaban en las campañas militares para señalar las guardias nocturnas. El reloj de agua egipcio, más o menos modificado, siguió siendo el instrumento más eficiente para medir el tiempo durante muchos siglos.[i]

Usando nuestras propias palabras, un clepsidra es un artefacto, comúnmente un conjunto de recipientes de cualquier tipo en los cuales es vertida agua, y esta se desplaza por los distintos orificios que este sistema de vasijas pueda tener, dandonos asi una manera de contabilizar el tiempo en base a marcadores que tengan estos recipientes, pudiendo asi obtener clepsidras que tomen desde horas hasta segundos, todo en función al tamaño del recipiente, del orificio, cantidad de recipientes y muchas otras variables.

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[i] https://es.wikipedia.org/wiki/Clepsidra

CALCULOS

Una vez obtenemos los datos necesarios, tales como tiempo y altura, procedemos a convertirlos en una función la cual podamos despejar.

Si obtenemos que la altura (h) cambia en dependencia del tiempo (t), nos da la función H(t), con esto y analizando la grafica que se genera obtenemos que se trata de una ecuación cuadrática.

Cuando la altura es 12, el tiempo es 0, entonces sustituyendo nos queda h(0)=a(0)+b(0)9+c=12

Asi podemos obtener la primer incógnita, , dándonos como resultado que C=12

Con una incógnita menos, debemos usar la igualación para obtener las siguientes variables, usando el tiempo máximo y el intermedio para tener asi una mayor comodidad en los cálculos y un menor índice de error., obteniendo dos ecuaciones que nos indican el valor de A. Al valer ambas lo mismo podemos igualarlas entre ellas mismas y asi despejaras, logrando asi obtener el valor de la siguiente incógnita, B=-.107389. Ya con solo una incógnita desconocida, podemos sustituirla en la ecuación de A que nos parezca mas sencilla y asi obtener la ultima incógnita, A=3.577555123*10-5

VIDEO CON EXPLICACIÓN DE FUNCIONAMIENTO DE UN CLEPSIDRA

• Para la elaboración de una clepsidra debemos de conseguir un recipiente transparente de preferencia.
• Con un objeto puntiagudo realizaremos un pequeño orificio en la parte inferior del recipiente
• Después de haber realizado el orificio con una hoja milimétrica tomando como medida cada centímetro marcaremos un aproximado de 15-16 centímetros, recortaremos estas medidas y las pegaremos en el recipiente poniendo el numero 0 a la altura del orificio.
• Enseguida llenaremos el envase con agua (de preferencia darle un poco de color para distinguirla de mejor manera) y tomaremos el tiempo que tarda en llegar a cada marca con un cronometro de preferencia realizarlo un par de veces para estar seguros.
• Ya con los resultados solo sacaremos la media de los tiempos y de ahí procederemos a realizar los cálculos correspondientes.

El reloj de agua funciona gracias a que al agua siempre le tomara el mismo tiempo caer de un recipiente a otro por el mismo orificio, siempre y cuando las variables que le afecten no cabien (posición, tamaño del orificio, etc), gracias a esto, se puede graficar  los tiempos obtenidos cada cierta medida y asi obtener la ecuación matemática que nos representa el tiempo que tardara el agua en llegar a cierto nivel de nuestro recipiente. Una clepsidra es  mas parecidoa un temporizador que a un reloj, ya que esta tiene un limite de cuanta agua pueda poseer y requerirá que sea vuelta a llenar con agua para poder volver a tomar el tiempo.

UN POCO DE HISTORIA DEL RELOJ CLEPSIDRA

• En el antiguo Egipto se usó la clepsidra para la noche, cuando los relojes de sol no se utilizaban, los primeros recipientes usados para medir el tiempo tenían orificios por donde salía de manera regulada el agua y contaban con marcas que determinaban el tiempo transcurrido.

• Este reloj de agua lo ocuparon lo mismo en Atenas que en Roma para determinar el tiempo asignado en los tribunales a los oradores, incluso el ejército romano lo utilizo para marcar las guardias nocturnas.

• En la antigua Grecia entre 350 y 300 A.C se construyó “el reloj del pueblo” que era una gran tanque de agua con un nivel que conforme iba saliendo el agua del tanque el nivel bajaba indicando las horas transcurridas.

• En China en 1434 Sejong y su técnico Chang Yong-shil inventaron una clepsidra que era capaz de marcar cada hora, esto se lograba sincronizando la salida del agua desde vasos que estaban en alto, empujando una bola de metal y que al llegar a los vasos inferiores activaba un mecanismo para golpear un tambor metálico.

• El principio con el que funcionaban los relojes de agua se utilizó con pocas variantes durante muchos siglos hasta la aparición de los relojes mecánicos.

TABLAS Y GRAFICAS

En las primera tabla podemos observar los tiempos  que capturamos de nuestra clepsidra. La segunda tabla nos muestra los datos tabulados usando la formula que obtuvimos al realizar todas las operaciones necesarias, obteniendo la altura según en tiempo, contrario a la primera tabla que obtiene el tiempo en función de la altura.

De la misma manera las graficas están ordenadas: la primera es la grafica de la tabla numero 1, mientras la siguiente por consecuente es parte de la tabla numero 2.

PROCESO DE ELABORACION

FASES DEL PROCEDIMIENTO

Para la creación de nuestra clepsidra usamos un recipiente de dulces de un material muy similar al ya realizado, una vez poseíamos este recipiente nos dimos a la tarea de generar un orificio de poco mas de 5mm de diámetro en la base del mismo junto con una regla hecha con papel milimétrico. Con todo esto realizamos el llenado del recipiente y tomamos los tiempos que le tomaba a nuestra clepsidra llegar a los valores asignados. Con estos tabulados, realizamos la grafica y observamos la parábola que se debería generar para confirmar que se trataba de una ecuación cuadrática la que generaba estos datos. Sustituyendo los datos en la ecuacion cuadratica obtuvimos los valores de las incognitas a, b y c., pudiendo asi realizar las siguientes operaciones.

Aquí adjuntamos algunas fotografías soibre la elaboración de nuestro clepsidra, para la cual usamos :

• Hojas de papel milimétrico
• Tijeras
• Cinta adhesiva
• Un recipiente
• Un marcador
• Regla